【LOJ3009】【BZOJ2090】【POI2010】Monotonicity 2

DP+树状数组"即可"。

相信很多人看到这道题的第一反应和窝一样:这不是水题吗,只要记 f(i) 表示下标以 i 结尾的最长合法子序列长度,转移树状数组优化一下就行了。

还有一些人可能觉得这道题需要在状态中记录长度 \bmod k ,于是得到了优秀的 O(nk\log n) O(nk) 做法。

第一反应觉得这道题是水题之后可能会觉得不对劲,DP需要最优子结构,而这个DP看起来并不满足呀。

然而,这个DP确实是满足最优子结构的,为什么呢?

(网上的题解大都没写证明,neither_nor写了证明但窝看不懂毒瘤jcy,于是窝决定写一下用谷歌翻译看波兰文官方题解(在P152)的成果)

就是要证下标以 i 结尾的最长合法子序列,一定可以由某个下标以 j<i 结尾的最长合法子序列接上 i 得到。

不失一般性,设下标以 n 结尾的最长合法子序列第一个不满足这个条件,再设 m 为这个子序列的上一个下标。

b_1,b_2,\cdots,b_{f(m)} 为下标以 m 结尾的最长合法子序列对应的下标序列,显然 b_{f(m)}=m ,设 k=f(n)

因为 n 继承的不是 m 的最优解,所以 k-1<f(m) ,即 f(m)\geq k

讨论:

  • a_m=a_n ,这时 b_1,b_2,\cdots,b_{f(m)-1},n 长度为 f(m) \geq k ,显然为一个不会更劣的解。
  • a_m<a_n ,这就是说 s_{k-1}=``<" ,继续讨论:
    • a_{b_{k-1}}<a_n ,那么 b_1,b_1,\cdots,b_{k-1},n 长度为 k ,不会更劣。
    • a_{b_{k-1}}\geq a_n ,我们有 a_{b_{k-1}}<a_{b_k} ,但是 a_{b_{k-1}}\geq a_n>a_m ,也即一定存在一个 w\geq k 满足 a_{b_w}>a_{b_{w+1}} ,也即 s_{w}=``>" ,我们取第一个这样的 w ,于是 \forall i \in [k,w), a_{b_i}\leq a_{b_{i+1}} ,又 a_{b_{k-1}}<a_{b_k} ,于是 a_{b_w}>a_{b_{k-1}}\geq a_n ,于是 b_1,b_1,\cdots,b_{w},n 长度为 w+1>k ,更优。
  • a_m>a_n ,同理得证。

这样就证完啦。

使用两个树状数组分别维护下一个是大于和小于的情况,等于直接用数组维护。

时间复杂度 O(n\log n)

Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int> pii;
const int MAXSIZE=10000020;
int bufpos;
char buf[MAXSIZE];
#define NEG 0
void init(){
	#ifdef LOCAL
		freopen("3009.txt","r",stdin);
	#endif
	buf[fread(buf,1,MAXSIZE,stdin)]='\0';
	bufpos=0;
}
#if NEG
int readint(){
	bool isneg;
	int val=0;
	for(;!isdigit(buf[bufpos]) && buf[bufpos]!='-';bufpos++);
	bufpos+=(isneg=buf[bufpos]=='-');
	for(;isdigit(buf[bufpos]);bufpos++)
		val=val*10+buf[bufpos]-'0';
	return isneg?-val:val;
}
#else
int readint(){
	int val=0;
	for(;!isdigit(buf[bufpos]);bufpos++);
	for(;isdigit(buf[bufpos]);bufpos++)
		val=val*10+buf[bufpos]-'0';
	return val;
}
#endif
char readchar(){
	for(;isspace(buf[bufpos]);bufpos++);
	return buf[bufpos++];
}
int readstr(char* s){
	int cur=0;
	for(;isspace(buf[bufpos]);bufpos++);
	for(;!isspace(buf[bufpos]);bufpos++)
		s[cur++]=buf[bufpos];
	s[cur]='\0';
	return cur;
}
const int maxn=1000002;
inline void tense(pii &x,pii y){
	if (x<y)
		x=y;
}
struct bit{
	int n;
	pii t[maxn];
	void add(int p,pii v){
		for(;p<=n;p+=p&-p)
			tense(t[p],v);
	}
	pii query(int p){
		pii ans;
		for(;p;p-=p&-p)
			tense(ans,t[p]);
		return ans;
	}
}b1;
struct tib{
	int n;
	pii t[maxn];
	void add(int p,pii v){
		for(;p;p-=p&-p)
			tense(t[p],v);
	}
	pii query(int p){
		pii ans;
		for(;p<=n;p+=p&-p)
			tense(ans,t[p]);
		return ans;
	}
}b2;
inline pii inc(pii x){
	x.first++;
	return x;
}
int a[maxn],dp[maxn],lst[maxn],stk[maxn];
pii qwq[maxn];
char s[maxn];
int main(){
	init();
	int n=readint(),k=readint();
	for(int i=1;i<=n;i++)
		a[i]=readint();
	for(int i=1;i<=k;i++)
		s[i]=readchar();
	b1.n=b2.n=maxn-1;
	int ans=0;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		pii lol;
		tense(lol,inc(b1.query(a[i]-1)));
		tense(lol,inc(b2.query(a[i]+1)));
		tense(lol,inc(qwq[a[i]]));
		dp[i]=lol.first,lst[i]=lol.second;
		// printf("dp[%d]=%d lst[%d]=%d\n",i,dp[i],i,lst[i]);
		lol.second=i;
		char now=s[(dp[i]-1)%k+1];
		if (now=='=')
			tense(qwq[a[i]],lol);
		else if (now=='<')
			b1.add(a[i],lol);
		else b2.add(a[i],lol);
		// printf("dp[%d]=%d lst[%d]=%d\n",i,dp[i],i,lst[i]);
		if (dp[i]>dp[ans])
			ans=i;
	}
	printf("%d\n",dp[ans]);
	int cur=0;
	while(ans){
		stk[++cur]=ans;
		ans=lst[ans];
	}
	for(int i=cur;i;i--)
		printf("%d ",a[stk[i]]);
}

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